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第五百九十三章 高斯博内陈定理曲面几何（第1页）

1827年，高斯证明了这一定理。

1944年，博内将这一定理推广到一般曲面上，由任一闭曲线C围成的单连通区域，形成了著名的高斯博内公式

1944年，陈省身给出了高斯博内公式的内藴证明

欧拉数虽然神秘有趣，可还是引不起数学家们的强烈兴趣，原因是它太简单了，小学生都可以很快弄懂这些数的来源，那个时代的数学家们总是希望有个积分，微分什么的，以显示其高深莫测，高斯那时候正在研究曲面和曲线的几何学，对于各种曲率玩得和吃饭喝水似的，这个时候人们还没有意识到弯曲可以是几何的内蕴性质，而一般考虑嵌入曲率，第一个认识到弯曲可以不需要嵌入的人是黎曼

某天，对于没有边界的二维曲面，高斯搞了一个曲率做了一个积分，他发现，他能够计算出欧拉数很快他把这个公式推广到带边界二维面上有洞的情形的二维曲面，同样得到了相应的欧拉数

高斯当时应该是没有认识到这个公式的巨大作用，以至于他懒得去发表这样的结果，他认为这种工作对他而言太简单了，只和弟子们稍微讨论了一下，然后，就转去研究别的东西去了，可见这些宗师级的人物也有走眼的时候，几年以后，博内得到了同样的结果

令人兴奋的是，我们导出黎曼曲率的途径，还能够让我们一瞥高斯博内公式的风采，真正体验一番研究内蕴几何的味道

高斯博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式，它建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系，而我们从一条几何的路径出发，结合一些矩阵变换和数学分析的内容，逐步导出了测地线、协变导数、曲率张量，现在还可以得到经典的高斯博内公式，可见我们在这条路上已经走得足够远了，虽然过程不尽善尽美，然而，并没有脱离这个系列的核心几何直观

在曲面上的形状：角差变量曲率K上的面积大小的积分。

变化量则表示为面积分。这就是微分几何中的高斯博内公式的主要内容，即角差等于高斯曲率的面积分，诸如球面三角形的内角和等内容都与它有关，它是整体微分几何的开山之作之一

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